Bon c’est un verbe de base, mais j’ai une petite question.
Est-ce que « Ich möchte dich gerne sprechen »=« Ich möchte gerne mit dir sprechen »
Je trouve la première forme bizarre, mais c’est pas la première fois que je l’entends. Ou bien ce sont juste les traductions des films qui sont mal faites? 
Euh… J’ai toujours considéré que c’était la même chose, mais je ne me suis jamais vraiment penchée sur la question !
moi aussi, mais j’aime bien avoir les grandes explications de nos professionnels de la langue allemande. 
Pas de différence notable. Avec « dich sprechen », on veut simplement signaler quel interlocuteur on souhaite, alors que « mit dir sprechen » annonce une conversation. Mais cela revient souvent au même en pratique.
Expression toute faite: « Ist Herr Müller zu sprechen ? » =« Est-ce-que je peux parler à Monsieur Mullère ? »
Entre jemanden sprechen et mit jemandem sprechen, le premier est legèrement plus formel (et selon les cas, plus sérieux).
Oui, je dirais: « dich sprechen », c’est plutôt « amtlich, dienstlich », concernant des affaires de profession, l’autre est plus privé.
Ce qui se tient, puisque je l’ai entendu principalement dans des séries policières.