Non, dans un contexte positif sans restriction il faut utiliser müssen :
ich habe die Hausaufgaben machen müssen.
Ok j’ai enfin (presque) tout compris, Danke für alles
Er hofft bald nach Deutschland fahren zu können
Il espère pouvoir bientôt aller en Allemagne
Dans la phrase en français, il n’y pas la préposition « de » ou « pour » ou « à ».
Comment faire en rédaction, est-ce un problème si on ne met pas de zu ?
Un gros problème, Yasu! 
En allemand, la subordonnée infinitive requiert presque toujours la construction avec « zu ». Les rares exceptions sont généralement les verbes modaux, comme on l’a vu précédemment:
Er soll bald nach Deutschland fahren können (ou: dürfen): on dit qu’il va pouvoir bientôt aller en Allemagne
A l’inverse, en français, il y a des verbes qui demandent une construction avec « à » ou « de »:
Il aspire à pouvoir bientôt aller en Allemagne (Er sehnt sich danach, …)
Il désespère de pouvoir… (Er gibt die Hoffnung auf, …)
OK mais je viens de voir sur mon livre l’exemple ci-contre : es hat zu schneien angefangen
J’en conclu que anfangen (ou fangen et toutes ces formes avec particules) peut suivre le double infinitif.
Je me trompe ?
Aussi :
Je ne comprend pas pourquoi michelmau me dit ça… brauchen suit bien la règle du double infinitif, non ?
Où est-il question de double infinitif ? Le double infinitif, c’est les verbes modaux aux formes composées du passé.
j’ai du faire ça → ich habe das tun müssen. (et non gemüsst ou autres)
Je pense que ce qui te pose problème dans la phrase « es hat zu schneien angefangen », c’est l’ordre des mots.
En effet, si en général la proposition infinitive (avec zu + vb) est mise après la principale, comme tu l’as vu dans d’autres exemples (er hofft, bald nach deutschland fahren zu können; ich habe nicht gebraucht, das zu lernen etc.), lorsqu’il n’y a pas de complément, donc lorsqu’il n’y a que « zu + vb », on peut directement l’intégrer dans la principale.
Es hat zu schneien angefangen.
Es hat angefangen, sehr viel zu schneien.
attend confirmation des pros. on ne sait jamais 
Je suis pas pro, mais je confirme 
Bon, à vrai dire, j’ai perdu un peu le fil… mais, comme Mislep, je ne vois pas de double infinitif dans es hat zu schneien angefangen
pour moi, un double infinitif serait: es hat schneien anfangen ce qui n’est pas du tout accepté!
correct:
es hat angefangen zu schneien
es hat zu schneien angefangen
angefangen étant un participe.
Non (et oui ). cf plus haut. Normalement, une phrase avec brauchen se construit avec zu (sauf dans l’allemand « parlé/régional », mais ce n’est pas (encore) accepté en allemand standard!):
correct:
Ich brauche das nicht zu lernen
Ich brauchte das nicht zu lernen
Ich habe das nicht zu lernen gebracht
Ich hatte das nicht zu lernen gebraucht
faux:
Ich brauche das nicht lernen
Ich habe das nicht lernen brauchen
Mais, il peut y avoir « contamination » par les modaux (comme écrivait Michael) et la variante du double infinitif (Ersatzinfinitiv) dans le cas particulier de brauchen (et quelques autres verbes comme hören, sehen etc) mais en ce qui concerne brauchen toujours avec zu. La seule chose qui change est, pour les temps « composés », l’usage de l’infinitif au lieu du participe:
correct:
Ich habe das nicht zu lernen gebraucht ou ich habe das nicht zu lernen brauchen. Ich hatte das nicht zu lernen gebraucht ou ich hatte das nicht zu lernen brauchen.
En revanche (modaux, hören, sehen etc):
correct:
Ich habe das nicht lernen müssen
Ich habe ihn nicht lernen hören
Ich habe ihn nicht lernen sehen
Une chose qui m’intrigue (là j’attends aussi confirmation des pros ) c’ est l’ordre des elements dans la phrase.
Dans le cas de:
Es hat angefangen zu schneien
Es hat zu schneien angefangen
les deux ordres sont corrects, mais on préfère le premier. Tandis que dans le cas de
Ich habe das nicht zu lernen gebraucht.
faux: Ich habe das nicht gebraucht zu lernen.
seulement la première phrase est correcte, avec [i]brauchen /i à la fin.
Serait-ce du au fait que brauchen soit perçu malgré tout (son zu) un peu comme un verbe modal?
Ok si je voulais écrire par exemple :
je n’ai pas eu besoin de faire mes devoir pour demain
ich habe für Morgen meine Hausaufgaben nicht zu machen brauchen/gebraucht
j’ai entendu quelque chose tomber en bas
ich habe etwas runter fallen hören
c’est juste ?
EDIT : (brauchen ne s’emploie qu’avec une négation ou une restriction style : nur) j’ai corrigé.
sauf: Morgen: matin; morgen: demain; runterfallen 
euh ?? J’ai un gros doute (je suis tout ton topic, car j’apprends plein de choses )
tu écris : ich habe etwas runter fallen hören / J’ai ENTENDU quelque chose tomber en bas…
tu ne devrais pas mettre hören au participe passé ???
(et dans ce cas, prend-il l’avant dernière place ou la dernière place dans la phrase ? )
ah ok merci pour l’explication reste plus qu’à 
attendre les pro pour nous confirmer tout ça et te répondre à ta question !
je laisse nebenstelle te répondre (ou un autre membre) car j’ai peur de te mettre dans un brouillard obsure 
Je peux te proposer un lien sinon Passé composé : double infinitif-allemand
Il s’agit du double infinitif, Kissou!
La construction est donc correcte.
Ce qui ne l’est pas, c’est la traduction de « en bas ». Elle n’a pas été rendue.
Si je suis au rez-de-chaussée et que j’entends tomber quelque chose « en bas = unten », je vais voir à la cave de quoi il retourne. Si j’entends tomber quelque chose « en haut = oben », je monte à l’étage.
Runter fällt es sowieso immer! Hat jemand sonst etwas hinauffallen hören? Das würde doch auffallen!
mais vous parlez de double infinitif avec les verbes de modalité (et brauchen), mais dans la phrase de Yasu, hören est devenu un verbe de modalité ???
j’y comprends plus rien !
NB : désolée Yasu de polluer ton fil, j’espère que mes questions ne t’embrouillent pas !
Pas du tout, ce sujet appartient à tout le monde de toute façon. hören est un
verbe de perception. relis depuis le début le sujet et regarde le lien que j’ai donné ! tu comprendras
OK… Ich habe verstanden (je suis longue à la détente aujourd’hui !! 
)
La règle s’étend aux verbes heißen (au sens d’ordonner), lassen, hören et sehen.
et là… tout s’éclaire (tu es la lumière de ma journée Andergassen !! )
Danke
- helfen, fühlen, spüren, riechen
je demande confirmation pour ceux qui sont en italique